Fläche/(X+Y)^3+Z^2/R/Normalisierung/Analytische Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

a) Die Jacobi-Matrix ist

${\begin{pmatrix}1&0\\-1&-2t\\0&3t^{2}\end{pmatrix}}.$

b) Für  ${}t\neq 0$  ist der Rang der Matrix gleich ${}2$ und die Abbildung ist regulär, für  ${}t=0$  wird die zweite Spalte zu ${}0$ und der Rang der Matrix ist ${}1$. Die regulären Punkte der Abbildung sind also genau die Punkte ${}(s,t)$ mit  ${}t\neq 0$. 

c) Es ist

${}(x+y)^{3}+z^{2}=(\varphi _{1}(s,t)+\varphi _{2}(s,t))^{3}+\varphi _{3}(s,t)^{2}=(x-x-t^{2})^{3}+(t^{3})^{2}=-t^{6}+t^{6}=0\,.$

d) Es seien  ${}P=(s,t)$  und

${}P'=(s',t')\,$

gegeben mit

${}\varphi (s,t)=\varphi (s',t')\,.$

Wegen

${}\varphi _{1}(s,t)=s\,$

folgt sofort  ${}s=s'$.  Wegen

${}\varphi _{3}(P)=t^{3}=t'^{3}=\varphi _{3}(P')\,$

folgt wegen der Bijektivität der dritten Potenz direkt

${}t=t'\,.$

Also ist

 ${}P=P'$. 

Zur gelösten Aufgabe