Flächeninhalt/Bild eines Rechtecks/(xy,x^2-y^3)/Aufgabe

Es sei

${}G={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\mid x^{2}>y^{3}\right\}}\,,$

wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (xy,x^{2}-y^{3}).$

1. Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.
2. Zeige, dass ${}\varphi$ einen Diffeomorphismus auf sein Bild induziert.
3. Zeige, dass das Rechteck ${}Q=[3,4]\times [1,2]$ in ${}G$ liegt.
4. Berechne den Flächeninhalt des Bildes von ${}Q=[3,4]\times [1,2]$ unter ${}\varphi$.

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