Flächeninhalt/Bild eines Rechtecks/(xy,x^2-y^3)/Aufgabe/Lösung

1. Wir betrachten das Gleichungssystem

   ${}(xy,x^{2}-y^{3})=(u,v)\,$

   und müssen zeigen, dass ${}(x,y)$ durch ${}(u,v)$ eindeutig bestimmt ist. Wegen ${}(x,y)\in T$ ist ${}(u,v)\in \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}$. Es gilt

   ${}x={\frac {u}{y}}\,$

   und

   ${}x^{2}=v+y^{3}\,.$

   Daraus ergibt sich

   ${}{\frac {u^{2}}{y^{2}}}=v+y^{3}\,$

   bzw.

   ${}u^{2}=vy^{2}+y^{5}\,.$

   Bei gegebenem ${}v>0$ ist diese Funktion in ${}y\in \mathbb {R} _{+}$ streng wachsend, daher gibt es maximal ein ${}y$, das diese Gleichung erfüllt. Dadurch ist auch ${}x={\frac {u}{y}}$ eindeutig bestimmt.

2. Die Jacobi-Matrix ist

   ${\begin{pmatrix}y&x\\2x&-3y^{2}\end{pmatrix}}$

   mit der Determinante

   ${}\det {\begin{pmatrix}y&x\\2x&-3y^{2}\end{pmatrix}}=-3y^{3}-2x^{2}\,.$

   Auf ${}G\subseteq \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}$ ist dies überall negativ, daher liegt ein Diffeomorphismus auf das Bild vor.

3. Für ${}(x,y)\in Q$ ist

   ${}x^{2}\geq 3^{2}>2^{3}\geq y^{3}\,,$

   also ist ${}(x,y)\in G$.

4. Der Flächeninhalt ist nach Fakt gleich

   ${}{\begin{aligned}\lambda ^{2}(\varphi (Q))&=\int _{Q}\det \left(D\varphi \right)_{x}d\lambda ^{2}\\&=\int _{3}^{4}\int _{1}^{2}2x^{2}+3y^{3}dydx\\&=\int _{3}^{4}{\left(2x^{2}y+{\frac {3}{4}}y^{4}\right)}{|}_{1}^{2}dx\\&=\int _{3}^{4}{\left(4x^{2}+192-2x^{2}-{\frac {3}{4}}\right)}dx\\&=\int _{3}^{4}{\left(2x^{2}+{\frac {765}{4}}\right)}dx\\&={\left({\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {765}{4}}x\right)}{|}_{3}^{4}\\&={\frac {2}{3}}\cdot (64-27)+{\frac {765}{4}}\\&={\frac {74}{3}}+{\frac {765}{4}}\\&={\frac {2591}{12}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe