Flächenstück/Durch stetige Funktionen begrenzt/Funktion darauf/Cavalieri/Fakt/Beweis

Beweis

Dies folgt aus dem Cavalieri-Prinzip: Indem man ${}f_{+}$ und ${}f_{-}$ getrennt betrachtet, kann man annehmen, dass ${}f$ keine negativen Werte annimmt. Für diese Funktionen ist das Integral durch das Volumen des Subgraphen definiert. Der Flächeninhalt der Querschnittsfläche des Subgraphen zu ${}x_{0}\in [a,b]$ ist gerade ${}\int _{g(x_{0})}^{h(x_{0})}f(x_{0},y)dy$. Diese Flächeninhalte hängen stetig von ${}x_{0}$ ab und somit ist das Integral über diese Flächeninhalte nach dem Cavalieri-Prinzip das Volumen des Subgraphen.

Zur bewiesenen Aussage