Folge/Angeordneter Körper/Monotone Zerlegung/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$. Wir definieren zwei Folgen mit den Anfangswerten ${}y_{0}=x_{0}$ und ${}z_{0}=0$ rekursiv durch

${}y_{n+1}={\begin{cases}y_{n}+x_{n+1}-x_{n},{\text{ falls }}x_{n+1}\geq x_{n}\,,\\y_{n}{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

und

${}z_{n+1}={\begin{cases}z_{n}+x_{n+1}-x_{n},{\text{ falls }}x_{n+1}<x_{n}\,,\\z_{n}{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

1. Zeige, dass ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ wachsend ist.
2. Zeige, dass ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ fallend ist.
3. Zeige

   ${}x_{n}=y_{n}+z_{n}\,.$

   Man kann also jede Folge als Summe einer wachsenden und einer fallenden Folge darstellen.

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