Folgen/Konvergenz im R^n/Komponentenweise/Fakt

Der ${ℝ}^m$ sei mit der euklidischen Metrik versehen und sei ${\left(z_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in ${ℝ}^m$ mit

$z_n=(z_{1n},\dots ,z_{mn}).$

Dann konvergiert die Folge im ${ℝ}^m$ genau dann, wenn alle Komponentenfolgen ${\left(z_{in}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ in $ℝ$ konvergieren.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen