Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition

Konvergente Folge (metrischer Raum)

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $M$. Man sagt, dass die Folge gegen  $x\in M$  konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem $ϵ\in ℝ$, $ϵ>0$, gibt es ein  $n_0\in \mathbb{N}$  derart, dass für alle  $n\ge n_0$  die Beziehung

$d(x_n,x)\le ϵ$

gilt. In diesem Fall heißt $x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.