Es sei die Gesamtfolge konvergent gegen
.
Wir behaupten, dass die
-te Komponentenfolge
gegen
konvergiert. Sei
(ohne Einschränkung)
und
vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Gesamtfolge gibt es ein
mit
für alle
.
Daher ist

Es seien nun alle Komponentenfolgen konvergent, wobei die
-te Folge den Grenzwert
besitzen möge, und sei ein
vorgegeben. Wir setzen
und behaupten, dass die Folge gegen
konvergiert. Zu
gibt es für jede Komponentenfolge ein
derart, dass
für alle
gilt. Dann gilt für alle
-

die Beziehung
