Funktion/1+ln x -1 durch x/Bijektion/Aufgabe/Lösung

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a) Die Funktion ist differenzierbar und die Ableitung ist

Für sind diese beiden Summanden positiv, so dass die Ableitung stets positiv ist und daher streng wachsend ist. Daher ist die Abbildung injektiv. Die Funktion ist stetig, da sie differenzierbar ist. Daher genügt es für die Surjektivität, aufgrund des Zwischenwertsatzes, nachzuweisen, dass beliebig große und beliebig kleine Werte angenommen werden.

Für ist und daher

Da der Logarithmus für beliebig kleine Werte annimmt, gilt das auch für .

Für ist und daher

Da der Logarithmus für beliebig große Werte annimmt, gilt das auch für .

b) Durch Einsetzen ergibt sich , also ist das Urbild von . Aufgrund der Berechnung der Ableitung oben ist

Aufgrund der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt daher

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