Funktion/K/Stetig in Punkt/Existenz des Grenzwert/Fakt

Es sei ${}S\subseteq {\mathbb {K} }$, ${}a\in S$ und ${}T=S\setminus \{a\}$. Es sei ${}f\colon S\rightarrow {\mathbb {K} }$ eine Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Funktion ${}f$ ist stetig in ${}a$.
2. Es ist

   ${}\operatorname {lim} _{x\in T}f(x)=f(a)\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen