Funktionenfolge/Nicht stetig/Gleichmäßig konvergent gegen stetige Grenzfunktion/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten für  $n\in \mathbb{N}$  die Funktionenfolge

$f_n:ℝ⟶ℝ,$

die durch

$f_n(x):=\{\begin{array}{c}0,\text{ falls }x\ne 0,\\ \frac{1}{n},\text{ falls }x=0,\end{array}$

gegeben ist. Diese Funktionen sind nicht stetig, da der Limes für $x$ gegen $0$ stets  $0\ne \frac{1}{n}$  ist. Wir behaupten, dass diese Folge gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert, die als konstante Funktion stetig ist. Dazu sei  $ϵ>0$  vorgegeben. Es gibt dann ein  $n_0\in \mathbb{N}$  mit  $\frac{1}{n_0}\le ϵ$.  Für alle  $x\in ℝ$  und alle  $n\ge n_0$  gilt dann

$|f_n(x)-0|=|f_n(x)|\le \frac{1}{n}\le \frac{1}{n_0}\le ϵ.$

Zur gelösten Aufgabe