Funktionenfolge/Nicht stetig/Gleichmäßig konvergent gegen stetige Grenzfunktion/Beispiel/Aufgabe/Lösung

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Wir betrachten für die Funktionenfolge

die durch

gegeben ist. Diese Funktionen sind nicht stetig, da der Limes für gegen stets ist. Wir behaupten, dass diese Folge gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert, die als konstante Funktion stetig ist. Dazu sei vorgegeben. Es gibt dann ein mit . Für alle und alle gilt dann

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