Funktionenfolge/Nicht stetig/Gleichmäßig konvergent gegen stetige Grenzfunktion/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten für ${}n\in \mathbb {N}$ die Funktionenfolge

$f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

die durch

${}f_{n}(x):={\begin{cases}0,\,{\text{ falls }}x\neq 0,\\{\frac {1}{n}},\,{\text{ falls }}x=0,\end{cases}}\,$

gegeben ist. Diese Funktionen sind nicht stetig, da der Limes für ${}x$ gegen ${}0$ stets ${}0\neq {\frac {1}{n}}$ ist. Wir behaupten, dass diese Folge gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert, die als konstante Funktion stetig ist. Dazu sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Es gibt dann ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ mit ${}{\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon$. Für alle ${}x\in \mathbb {R}$ und alle ${}n\geq n_{0}$ gilt dann

${}\vert {f_{n}(x)-0}\vert =\vert {f_{n}(x)}\vert \leq {\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon \,.$

Zur gelösten Aufgabe