Funktionenfolge/Summe/Gleichmäßig konvergent/Aufgabe/Lösung

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Es seien bzw. die Grenzfunktionen der beiden Funktionenfolgen. Sei vorgegeben. Zu gibt es aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz von gegen ein derart, dass für alle und alle die Abschätzung

gilt. Ebenso gilt für und die Abschätzung

Für gilt daher für alle die Abschätzung

Daher konvergiert die Funktionenfolge gleichmäßig gegen .
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