Funktionenfolge/n-te Potenz/Beispiel

Es sei $T = [0, 1]$ und

f_{n} : [0, 1] ⟶ ℝ, x ⟼ x^{n} .

Für jedes $x \in [0, 1]$ , $x < 1$ , konvergiert die Folge ${(x^{n})}_{n \in ℕ}$ nach Aufgabe gegen $0$ und für $x = 1$ liegt die konstante Folge zum Wert $1$ vor. Die Grenzfunktion ist also

f (x) = {\begin{matrix} 0, falls x < 1, \\ 1 sonst . \end{matrix}

Diese Funktion ist nicht stetig, obwohl alle $f_{n}$ stetig sind.