Funktionenfolge/x hoch n durch n+1/Konvergenzverhalten/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}x^{\frac {n}{n+1}}=e^{{\frac {n}{n+1}}\ln x}\,.$

Für jedes ${}x\in \mathbb {R} _{>0}$ konvergiert die Folge ${}{\frac {n}{n+1}}\ln x$ gegen ${}\ln x$, da ja

${}{\frac {n}{n+1}}={\frac {1}{1+{\frac {1}{n}}}}\,$

gegen ${}1$ konvergiert. Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion konvergiert somit die Ausgangsfolge ${}x^{\frac {n}{n+1}}$ gegen ${}x$. Es liegt also punktweise Konvergenz mit der Identität als Grenzfunktion vor.

b) Es liegt keine gleichmäßige Konvergenz vor. Beispielsweise gibt es zu ${}\epsilon =1$ kein ${}n_{0}$ mit

${}\vert {f_{n}(x)-x}\vert \leq 1\,$

für alle ${}x$ und alle ${}n\geq n_{0}$ Zu ${}n$ kann man nämlich ${}x=2^{n+1}$ betrachten und erhält

${}{\begin{aligned}\vert {f_{n}(2^{n+1})-2^{n+1}}\vert &=\vert {{\left(2^{n+1}\right)}^{\frac {n}{n+1}}-2^{n+1}}\vert \\&=\vert {2^{n}-2^{n+1}}\vert \\&=2^{n}\\&>1\end{aligned}}$

(für den letzten Schritt sei ${}n\geq 1$).

Zur gelösten Aufgabe