Funktionenkörper/Galoiserweiterung/Invariante Differentialoperatoren/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir fixieren einen Unterkörper ${}K(x_{1},\ldots ,x_{d})$, über dem ${}K$ und ${}L$ endlich und separabel sind. Die Differentialoperatoren auf ${}K$ haben die Gestalt ${}\sum _{\nu }h_{\nu }\partial ^{\nu }$ (bezüglich der partiellen Ableitungen zu den gegebenen Variablen) mit ${}h_{\nu }\in K$ und die Operatoren auf ${}L$ haben die Gestalt ${}\sum _{\nu }g_{\nu }\partial ^{\nu }$ mit ${}g_{\nu }\in L$. Nach Fakt ist ein Differentialoperator ${}E$ auf ${}L$ genau dann invariant, wenn seine Koeffizientenfunktionen alle zu ${}K$ gehören.

Zur bewiesenen Aussage