Funktionentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

1. Die oberen Halbebene ist

   $ℍ=\{z\in ℂ\mid \mathrm{Im}\left(z\right)>0\}.$

2. Unter dem Konvergenzradius der Potenzreihe versteht man

   $\sup (|b-a|,b\in ℂ,\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(b-a{)}^n\text{ konvergiert}).$

3. Ein kommutativer Ring $R$ heißt lokal, wenn $R$ genau ein maximales Ideal besitzt.
4. Zu einer holomorphen Funktion $f:U\to ℂ$ nennt man die Differentialform $fdz$ eine holomorphe Differentialform auf $U$.
5. Die Differentailform $\omega$ werde bezüglich einer Basis von $V$ mit Koordinatenfunktionen $x_1,\dots ,x_n$ durch

   $\omega =\sum _{i=1}^n{\psi }_{i}d{x}_i$

   mit $W$-wertigen differenzierbaren Funktionen

   ${\psi }_i:U⟶W$

   beschrieben. Dann versteht man unter der äußeren Ableitung von $\omega$ die $2$-Form

   $\begin{array}{cc}d\omega & =\sum _{j=1}^{n}d{\psi }_j\wedge d{x}_j\\ & =\sum _{j=1}^n\left(\sum _{i=1}^n\frac{\partial {\psi }_j}{\partial x_i}d{x}_i\right)\wedge d{x}_j\\ & =\sum _{1\le i<j\le n}(\frac{\partial {\psi }_j}{\partial x_i}-\frac{\partial {\psi }_i}{\partial x_j})d{x}_i\wedge d{x}_j.\end{array}$

6. Ein topologischer Raum $X$ heißt einfach zusammenhängend, wenn er wegzusammenhängend ist und wenn jeder stetige geschlossene Weg in $X$ nullhomotop ist.

Zur gelösten Aufgabe