Funktionentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

Die oberen Halbebene ist
${}{\mathbb {H} }={\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \operatorname {Im} \,{\left(z\right)}>0\right\}}\,.$
Unter dem Konvergenzradius der Potenzreihe versteht man
${\operatorname {sup} \,{\left(\vert {b-a}\vert ,b\in {\mathbb {C} },\,\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(b-a)^{n}{\text{ konvergiert}}\right)}}.$
Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt lokal, wenn ${}R$ genau ein maximales Ideal besitzt.
Zu einer holomorphen Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ nennt man die Differentialform ${}fdz$ eine holomorphe Differentialform auf ${}U$ .
Die Differentailform ${}\omega$ werde bezüglich einer Basis von ${}V$ mit Koordinatenfunktionen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ durch
${}\omega =\sum _{i=1}^{n}\psi _{i}dx_{i}\,$

mit ${}W$ -wertigen differenzierbaren Funktionen

$\psi _{i}\colon U\longrightarrow W$

beschrieben. Dann versteht man unter der äußeren Ableitung von ${}\omega$ die ${}2$ -Form

${}{\begin{aligned}d\omega &=\sum _{j=1}^{n}d\psi _{j}\wedge dx_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \psi _{j}}{\partial x_{i}}}dx_{i}\right)}\wedge dx_{j}\\&=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\left({\frac {\partial \psi _{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial \psi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}dx_{i}\wedge dx_{j}.\end{aligned}}$
Ein topologischer Raum ${}X$ heißt einfach zusammenhängend, wenn er wegzusammenhängend ist und wenn jeder stetige geschlossene Weg in ${}X$ nullhomotop ist.