Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

1. Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  eine offene Teilmenge,  ${}P\in U$  ein Punkt und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit  ${}f'(P)\neq 0$.  Dann gibt es eine offene Umgebung  ${}P\in V\subseteq U$  und eine offene Umgebung  ${}f(P)\in W\subseteq {\mathbb {C} }$  derart, dass die Einschränkung von ${}f$ auf ${}V$ biholomorph zu ${}W$ ist.
2. Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  eine offene Menge, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion. Es sei  ${}B\left(P,r\right)\subseteq U$  eine abgeschlossene Kreisscheibe und es sei

   $\gamma \colon I\longrightarrow B$

   der stetige Weg, der den Rand von ${}B$ gleichmäßig durchläuft.

   Dann ist

   ${}\int _{\gamma }fdz=0\,.$

3. Es sei ${}p\colon E\rightarrow X$ eine Überlagerung, ${}\gamma \colon I\rightarrow X$ ein stetiger Weg und  ${}z\in E$  ein Punkt mit  ${}p(z)=\gamma (0)$.  Dann gibt es genau einen stetigen Weg

   ${\tilde {\gamma }}\colon I\longrightarrow E$

   mit der Eigenschaft, dass  ${}p\circ {\tilde {\gamma }}=\gamma$  und  ${}{\tilde {\gamma }}(0)=z$ 

   ist.

Zur gelösten Aufgabe