Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

1. Es sei  $U\subseteq ℂ$  eine offene Teilmenge,  $P\in U$  ein Punkt und $f:U\to ℂ$ eine holomorphe Funktion mit  $f^{\prime }(P)\ne 0$.  Dann gibt es eine offene Umgebung  $P\in V\subseteq U$  und eine offene Umgebung  $f(P)\in W\subseteq ℂ$  derart, dass die Einschränkung von $f$ auf $V$ biholomorph zu $W$ ist.
2. Es sei  $U\subseteq ℂ$  eine offene Menge, $f:U\to ℂ$ eine komplex differenzierbare Funktion. Es sei  $B(P,r)\subseteq U$  eine abgeschlossene Kreisscheibe und es sei

   $\gamma :I⟶B$

   der stetige Weg, der den Rand von $B$ gleichmäßig durchläuft.

   Dann ist

   ${\int }_{\gamma }fdz=0.$

3. Es sei $p:E\to X$ eine Überlagerung, $\gamma :I\to X$ ein stetiger Weg und  $z\in E$  ein Punkt mit  $p(z)=\gamma (0)$.  Dann gibt es genau einen stetigen Weg

   $\tilde{\gamma }:I⟶E$

   mit der Eigenschaft, dass  $p\circ \tilde{\gamma }=\gamma$  und  $\tilde{\gamma }(0)=z$ 

   ist.

Zur gelösten Aufgabe