Topologie/Topologischer Raum/Definition

Topologischer Raum

Ein topologischer Raum ${}(X,{\mathcal {T}})$ besteht aus einer Menge ${}X$ zusammen mit einer Teilmenge ${}{\mathcal {T}}$ der Potenzmenge von ${}X$, die folgende strukturelle Bedingungen erfüllt (die Teilmengen ${}U\subseteq X$, die zu ${}{\mathcal {T}}$ gehören, nennt man offene Mengen).

1. Die leere Menge und die ganze Menge ${}X$ sind offen (d.h. gehören zu ${}{\mathcal {T}}$).
2. Der Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen ist wieder offen, d.h. mit  ${}U_{1},\ldots ,U_{n}\in {\mathcal {T}}$  ist auch  ${}U_{1}\cap \ldots \cap U_{n}\in {\mathcal {T}}$. 
3. Die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen ist wieder offen, d.h. mit  ${}U_{i}\in {\mathcal {T}}$  für jedes  ${}i\in I$  (zu einer beliebigen Indexmenge ${}I$) ist auch  ${}\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.