Funktionsfamilie/Gleichmäßig summierbar/Definition

Gleichmäßig summierbare Funktionsfamilie

Es sei ${}T$ eine Menge und ${}f_{i}:T\rightarrow {\mathbb {K} }$, ${}i\in I$, eine Familie von Funktionen auf ${}T$. Man sagt, dass die Familie gleichmäßig summierbar ist, wenn es eine Funktion

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

mit der Eigenschaft gibt, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart gibt, dass für alle endlichen Teilmengen ${}E\subseteq I$ mit ${}E_{0}\subseteq E$ die Beziehung

${}\Vert {f_{E}-f}\Vert \leq \epsilon \,$

gilt. Dabei ist ${}f_{E}=\sum _{i\in E}f_{i}$.