Funktionsfamilie/Gleichmäßig summierbar/Definition

Gleichmäßig summierbare Funktionsfamilie

Es sei ${}T$ eine Menge und ${}f_{i}:T\rightarrow {\mathbb {K} }$, ${}i\in I$, eine Familie von Funktionen auf ${}T$. Man sagt, dass die Familie gleichmäßig summierbar ist, wenn es eine Funktion

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

mit der Eigenschaft gibt, dass es zu jedem  ${}\epsilon >0$  eine endliche Teilmenge  ${}E_{0}\subseteq I$  derart gibt, dass für alle endlichen Teilmengen  ${}E\subseteq I$  mit  ${}E_{0}\subseteq E$  die Beziehung

${}\Vert {f_{E}-f}\Vert \leq \epsilon \,$

gilt. Dabei ist  ${}f_{E}=\sum _{i\in E}f_{i}$.