Galoiskorrespondenz/Erzeugte Untergruppe/Körperdurchschnitt/Aufgabe/Lösung

Es sei zuerst ${}x\in \operatorname {Fix} \,(H)$. Wegen ${}H_{1},H_{2}\subseteq H$ ist insbesondere ${}x\in \operatorname {Fix} \,(H_{1})$ und ${}x\in \operatorname {Fix} \,(H_{2})$, also auch ${}x\in \operatorname {Fix} \,(H_{1})\cap \operatorname {Fix} \,(H_{2})=K_{1}\cap K_{2}$.

Aufgrund der Galoiskorrespondenz können wir die andere Inklusion ${}K_{1}\cap K_{2}\subseteq \operatorname {Fix} \,(H)$ dadurch zeigen, dass wir die umgekehrte Inklusion der Galoisgruppen nachweisen. D.h. wir müssen ${}H\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K_{1}\cap K_{2})$ zeigen. Da rechts eine Gruppe steht und ${}H$ die von ${}H_{1}$ und ${}H_{2}$ erzeugte Untergruppe ist, müssen wir lediglich ${}H_{1},H_{2}\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K_{1}\cap K_{2})$ zeigen. Wegen ${}K_{1}\cap K_{2}\subseteq K_{1}$ ist aber ${}H_{1}\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K_{1}\cap K_{2})$

(ebenso für ${}H_{2}$).

Zur gelösten Aufgabe