Ganze Erweiterung/Integritätsbereich/Nichteinheit bleibt Nichteinheit/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}s\in S$ das Inverse von ${}f$, also ${}fs=1$. Da ${}S$ ganz über ${}R$ ist, gibt es eine Ganzheitsgleichung für ${}s$, sagen wir

$s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_{0}=0$

mit ${}a_{i}\in R$. Wir multiplizieren diese Gleichung mit ${}f^{n}$ und erhalten

$(fs)^{n}+a_{n-1}f(fs)^{n-1}+\cdots +a_{1}f^{n-1}(fs)+a_{0}f^{n}=0$

bzw.

$1+a_{n-1}f+\cdots +a_{1}f^{n-1}+a_{0}f^{n}=0.$

Ausklammern von ${}f$ ergibt

$1+f(a_{n-1}+\cdots +a_{1}f^{n-2}+a_{0}f^{n-1})=0$

und damit

$f(-a_{n-1}-\cdots -a_{1}f^{n-2}-a_{0}f^{n-1})=1,$

wobei der Ausdruck in der Klammer zu ${}R$ gehört. Also besitzt ${}f$ auch ein Inverses in ${}R$.

Zur gelösten Aufgabe