Ganze Erweiterung eines Körpers/Integer/Körper/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}a\in A$, ${}a\neq 0$. Wir betrachten eine Ganzheitsgleichung

${}a^{n}+r_{n-1}a^{n-1}+\cdots +r_{1}a+r_{0}=0\,.$

Wenn ${}r_{0}=0$ ist, so können wir ${}a$ ausklammern und erhalten, da ${}a$ ein Nichtnullteiler ist, eine Ganzheitsgleichung kleineren Grades. Wir können also annehmen, dass ${}r_{0}\neq 0$ ist. Dann ist

${}a\cdot {\left(a^{n-1}+r_{n-1}a^{n-2}+\cdots +r_{1}\right)}\cdot {\left(-r_{0}^{-1}\right)}=1\,$

und somit ist ${}a$ eine Einheit.

Zur bewiesenen Aussage