Ganze Funktion/Unwesentliche Singularität nach Invertierung/Polynom/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen

${}g(w)=f{\left({\frac {1}{w}}\right)}\,.$

Wenn

${}f=c_{0}+c_{1}z+\cdots +c_{n}z^{n}\,$

ein Polynom ist, so ist

${}g(w)=f{\left({\frac {1}{w}}\right)}=c_{0}+c_{1}w^{-1}+\cdots +c_{n}w^{-n}\,,$

d.h. der Hauptteil der Laurent-Reihe ist endlich. Aus Fakt folgt, dass die Singularität unwesentlich ist.

Wenn ${}g$ in ${}0$ keine wesentliche Singularität besitzt, so ist nach Fakt der Hauptteil der Laurent-Reihe zu ${}g$ in ${}0$ endlich. Wenn

${}f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\,$

die Potenzreihenentwicklung von ${}f$ ist, so ist

${}g(w)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{-n}\,$

und die Endlichkeit des Hauptteiles von ${}g$ bedeutet eben, dass ${}c_{n}=0$ für ${}n\geq m$ für ein ${}m$ ist. Also ist ${}f$ ein Polynom.

Zur bewiesenen Aussage