Ganze Ringerweiterung/Norm liegt im Hauptideal/Spur nicht/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f\in R$ . Zeige, dass ${}N(f)\in (f)$ ist, dass also die Norm zum von ${}f$ erzeugten Hauptideal gehört. Zeige durch ein Beispiel, dass dies für die Spur nicht gelten muss.