Ganze Zahlen/Äquivalenzklassenmodell und direkt/Vergleich/Aufgabe

Es sei ${}\sim$ die Äquivalenzrelation auf ${}\mathbb {N} \times \mathbb {N}$, die durch ${}(a,b)\sim (c,d)$, falls ${}a+d=b+c$ ist, festgelegt ist, und es sei ${}\mathbb {Z} =\mathbb {N} \times \mathbb {N} /\sim$ die zugehörige Quotientenmenge, also das Äquivalenzklassenmodell von ${}\mathbb {Z}$. Es sei ${}G=\mathbb {N} \uplus \mathbb {N} _{-}$ das „direkte Modell“ für die ganzen Zahlen. Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {N} \times \mathbb {N} ,$

die durch

$\varphi (n)={\begin{cases}(n,0),{\text{ falls }}n{\text{ nichtnegativ ist}}\,,\\(0,m),{\text{ falls }}n=-m{\text{ negativ ist}}\,,\end{cases}}$

definiert ist, und die zusammengesetzte Abbildung

$G{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\mathbb {N} \times \mathbb {N} {\stackrel {p}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} .$

1. Zeige, dass ${}p\circ \varphi$ eine bijektive Abbildung ist.
2. Zeige, dass ${}p\circ \varphi$ mit der Addition verträglich ist.
3. Zeige, dass ${}p\circ \varphi$ mit der Multiplikation verträglich ist.
4. Zeige, dass ${}p\circ \varphi$ mit der Ordnung verträglich ist.

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