Ganze Zahlen/10a+b/Verknüpfungseigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten auf ${}\mathbb {Z}$ die Verknüpfung

$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto a*b:=10a+b.$

1. Was bedeutet die Verknüpfung für einstellige Ziffern?
2. Ist die Verknüpfung kommutativ?
3. Ist die Verknüpfung assoziativ?
4. Gelten die Distributivgesetze

   ${}(a+b)*c=a*c+b*c\,$

   und

   ${}c*(a+b)=c*a+c*b\,?$

5. Es bezeichne nun zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ das Symbol ${}1^{[n]}$ diejenige Zahl im Dezimalsystem, die aus ${}n$ Einsen besteht. Zeige

   ${}1^{[n]}*1=1^{[n+1]}\,.$

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