Ganze Zahlen/10a+b/Verknüpfungseigenschaften/Aufgabe/Lösung

1. Dem Paar ${}(a,b)$ zu einstelligen Zahlen wird die Zahl ${}ab$ im Dezimalsystem zugeordnet.
2. Die Verknüpfung ist nicht kommutativ, da ${}1*2=12$ und ${}2*1=21$ ist.
3. Es ist

   ${}(a*b)*c=(10a+b)*c=10(10a+b)+c=100a+10b+c\,$

   und

   ${}a*(b*c)=a*(10b+c)=10a+(10b+c)=10a+10b+c\,,$

   die Verknüpfung ist also nicht assoziativ.

4. Es ist

   ${}(a+b)*c=10(a+b)+c=10a+10b+c\,$

   und

   ${}a*c+b*c=10a+c+10b+c=10a+10b+2c\,$

   sowie

   ${}c*(a+b)=10c+(a+b)=10c+a+b\,$

   und

   ${}c*a+c*b=10c+a+10c+b=20c+a+b\,,$

   die Distributivgesetze gelten also beide nicht.

5. Es ist

   ${}{\begin{aligned}1^{[n]}*1&={\left(\sum _{i=0}^{n-1}10^{i}\right)}*1\\&=10\cdot {\left(\sum _{i=0}^{n-1}10^{i}\right)}+1\\&=\sum _{i=0}^{n-1}10^{i+1}+1\\&=\sum _{j=0}^{n}10^{j}\\&=1^{[n+1]}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe