Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Eigenschaften der Multiplikation/Distributiv/Fakt/Beweis

Beweis

Die Kommutativität der Multiplikation und die Eigenschaft, dass ${}1$ das neutrale Element ist, folgt unmittelbar aus der Definition. Zum Nachweis des Assoziativgesetzes stellt man zunächst fest, dass ${}0$ herauskommt, sobald ein Faktor ${}0$ ist. Die verbleibenden acht möglichen Fälle kann man einfach abhandeln, da das Vorzeichen des Produktes nur davon abhängt, wie viele Zahlen positiv und wie viele Zahlen negativ sind, siehe Aufgabe.

Zum Nachweis des Distributivgesetzes

${}x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z\,$

können wir, indem wir bei negativem ${}x$ mit ${}-1$ multiplizieren, annehmen, dass ${}x$ positiv ist (bei ${}x=0$ gilt die Gleichung sowieso). Wenn ${}y,z$ beide aus ${}\mathbb {N}$ sind oder beide negativ, so ergibt sich die Gleichung unmittelbar. Es sei also ${}y=a$ aus ${}\mathbb {N}$ und ${}z=-b$ negativ. Bei ${}a\geq b$ ist nach Fakt auch

${}xa\geq xb\,.$

In diesem Fall ist somit nach Fakt

${}x\cdot (y+z)=x\cdot (a+(-b))=x\cdot (a-b)=x\cdot a-x\cdot b=x\cdot a+x\cdot (-b)=x\cdot y+x\cdot z\,.$

Bei ${}a<b$ ist nach Fakt auch

${}xa<xb\,.$

In diesem Fall ist somit wieder nach Fakt

${}{\begin{aligned}x\cdot (y+z)&=x\cdot (a+(-b))\\&=x\cdot (-(b-a))\\&=-(x\cdot (b-a))\\&=-(x\cdot b-x\cdot a)\\&=x\cdot a+(-x\cdot b)\\&=x\cdot a+x\cdot (-b)\\&=x\cdot y+x\cdot z.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage