Ganze Zahlen/Teiler/Nebenklassen/Beispiel

Es sei ${}d\in \mathbb {N}$ fixiert. Wir bestimmen auf ${}\mathbb {Z}$ die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation ${}\sim$, bei der zwei Zahlen ${}a,b\in \mathbb {Z}$ als äquivalent betrachtet werden, wenn ihre Differenz ${}a-b$ ein Vielfaches von ${}d$ ist. Zu jeder Zahl ${}a\in \mathbb {Z}$ kann man einfach die zugehörige Äquivalenzklasse finden, sie besteht aus allen Zahlen der Form

${}a+\mathbb {Z} d={\left\{a+nd\mid n\in \mathbb {Z} \right\}}\,.$

In jeder Äquivalenzklasse gibt es ein Element (einen Vertreter, einen Repräsentanten) zwischen ${}0$ und ${}d-1$, da ja insbesondere ${}a$ zu seinem Rest bei der Division durch ${}d$ äquivalent ist. Andererseits sind bei

${}0\leq r<s\leq d-1\,$

die Äquivalenzklassen zu ${}r$ und zu ${}s$ verschieden. Es ist nämlich

${}(r+\mathbb {Z} d)\cap (s+\mathbb {Z} d)=\emptyset \,,$

da aus

${}r+nd=s+md\,$

sofort

${}s-r=(n-m)d\,$

folgt, was wegen

${}0<s-r<d\,$

nicht sein kann.