Ganzer Zahlbereich/Dirichletscher Einheitensatz/Fundamentaleinheiten/Nicht kanonisch/Bemerkung

Fakt besagt insbesondere, dass es Systeme von Fundamentaleinheiten gibt, und dass stets

${}m=r+s-1\,$

ist, wenn wieder ${}r$ die Anzahl der reellen und ${}s$ die Anzahl der Paare von komplexen Einbettungen bezeichnet. Bei einer Zerlegung

${}R^{\times }=\mu _{}{\left(R\right)}\times \mathbb {Z} ^{m}\,$

kann man eine Basis von ${}\mathbb {Z} ^{m}$ und insbesondere die Standardbasis als System von Fundamentaleinheiten nehmen. Man beachte, dass weder die Zerlegung noch die dazu äquivalente Auswahl von Fundamentaleinheiten in irgendeiner Form kanonisch ist. Es liegt eine natürliche Untergruppenbeziehung

${}\mu _{}{\left(R\right)}\subseteq R^{\times }\,$

vor und damit gibt es auch einen natürlichen Restklassenhomomorphismus

$R^{\times }\longrightarrow R^{\times }/\mu _{}{\left(R\right)},$

und der Satz besagt eben, dass diese Restklassengruppe eine freie kommutative Gruppe vom Rang ${}r+s-1$ ist, also isomorph zu ${}\mathbb {Z} ^{r+s-1}$, es gibt aber keine natürliche Identifizierung dieser Restklassengruppe mit ${}\mathbb {Z} ^{r+s-1}$. Aus einer surjektiven Gesamtabbildung

$R^{\times }\longrightarrow R^{\times }/\mu _{}{\left(R\right)}{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\mathbb {Z} ^{r+s-1}$

erhält man eine freie Untergruppe von ${}R^{\times }$, indem man jedem Element der Standardbasis rechts ein Urbild aus ${}R^{\times }$ zuordnet und von dieser Abbildung das Bild nimmt. Dies führt dann zu einer Zerlegung

${}R^{\times }\cong \mu _{}{\left(R\right)}\times \mathbb {Z} ^{m}\,.$