Ganzheitring/Ideale und Divisoren/Gebrochenes Ideal/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei . Gemäß der Konvention, dass zu interpretieren ist, ist . Für zwei Elemente mit gilt

und

für , da ja effektiv ist. Also liegt in der Tat ein -Modul vor.

Bevor wir die endliche Erzeugtheit nachweisen, betrachten wir die zweite Aussage. Es sei also ein effektiver Divisor. Wir haben zu zeigen, dass

ist, wobei die Inklusion klar ist. Sei also und angenommen, der zugehörige Hauptdivisor sei . Dann ist insbesondere effektiv. Die Effektivität bedeutet für jedes von verschiedene Primideal und dies bedeutet . Das heißt, dass zu jedem diskreten Bewertungsring zu jedem maximalen Ideal von gehört. Dies bedeutet aber nach Fakt, dass ist.

Zum Nachweis der endlichen Erzeugtheit bemerken wir, dass es zu jedem Divisor ein derart gibt, dass effektiv ist. Das zu gehörige gebrochene Ideal ist dann ein Ideal, also endlich erzeugt, und dies überträgt sich auf das gebrochene Ideal zu .