Ganzheitring/Ideale und Divisoren/Gebrochenes Ideal/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}{\mathfrak {f}}={\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$.  Gemäß der Konvention, dass  ${}\operatorname {div} {\left(0\right)}=\infty$  zu interpretieren ist, ist  ${}0\in {\mathfrak {f}}$.  Für zwei Elemente  ${}f_{1},f_{2}\in Q(R)$  mit  ${}\operatorname {div} {\left(f_{1}\right)},\operatorname {div} {\left(f_{2}\right)}\geq D$  gilt

${}\operatorname {div} {\left(f_{1}+f_{2}\right)}\geq {\min {\left(\operatorname {div} {\left(f_{1}\right)},\operatorname {div} {\left(f_{2}\right)}\right)}}\geq D\,$

und

${}\operatorname {div} {\left(rf\right)}=\operatorname {div} {\left(r\right)}+\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\,$

für  ${}r\in R$,  da ja ${}\operatorname {div} {\left(r\right)}$ effektiv ist. Also liegt in der Tat ein ${}R$-Modul vor.

Bevor wir die endliche Erzeugtheit nachweisen, betrachten wir die zweite Aussage. Es sei also ${}E$ ein effektiver Divisor. Wir müssen zeigen, dass

${}{\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq E\right\}}={\left\{f\in R\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq E\right\}}\,$

ist, wobei die Inklusion ${}\supseteq$ klar ist. Es sei also  ${}f\in Q(R)$  und angenommen, der zugehörige Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ sei ${}\geq E$. Dann ist ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ insbesondere effektiv. Die Effektivität bedeutet  ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq 0$  für jedes von ${}0$ verschiedene Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ und dies bedeutet  ${}f\in R_{\mathfrak {p}}$.  Das heißt, dass ${}f$ zu jedem diskreten Bewertungsring zu jedem maximalen Ideal von ${}R$ gehört. Dies bedeutet aber nach Fakt, dass  ${}f\in R$  ist.

Zum Nachweis der endlichen Erzeugtheit bemerken wir, dass es zu jedem Divisor ${}D$ ein  ${}r\in R$  derart gibt, dass  ${}D'=D+\operatorname {div} {\left(r\right)}$  effektiv ist. Das zu ${}D'$ gehörige gebrochene Ideal ist dann ein Ideal, also endlich erzeugt, und dies überträgt sich auf das gebrochene Ideal zu ${}D$.

Zur bewiesenen Aussage