Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch angeordnet/Vergleich mit Potenzen/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen die Existenz des ${}m$ durch Induktion über ${}k$ für jedes ${}b>0$. Für ${}k=0$ ist die Aussage klar. Sei ${}k=1$. Wir schreiben ${}b=1+u$ mit ${}u>0$ und betrachten (für $n\geq 2$) die auf dem binomischen Lehrsatz in Verbindung mit ${}u>0$ beruhende Abschätzung

${}b^{n}=(1+u)^{n}\geq 1+nu+{\binom {n}{2}}u^{2}=1+nu+{\frac {n(n-1)}{2}}u^{2}=1+nu+n{\frac {(n-1)}{2}}u^{2}\geq n{\frac {(n-1)u^{2}}{2}}\,.$

Da ${}{\frac {u^{2}}{2}}$ positiv ist, gibt es nach Fakt eine natürliche Zahl ${}m$ mit

${}m{\frac {u^{2}}{2}}\geq 1\,.$

Für ${}n>m$ ist dann

${}b^{n}\geq n{\frac {(n-1)u^{2}}{2}}\geq n\,,$

wie gewünscht. Es sei nun die Aussage für ${}k\geq 1$ und alle ${}b>1$ schon bewiesen, und wir müssen sie für ${}k+1$ beweisen. Wir schreiben ${}b=cd$ mit Zahlen

${}c,d>1\,,$

die es nach Aufgabe gibt. Aufgrund der Induktionsvoraussetzung gibt es eine natürliche Zahl ${}m$ derart, dass für alle ${}n\geq m$ die Abschätzung

${}c^{n}\geq n^{k}\,$

gilt. Ebenso gibt es eine natürliche Zahl ${}m'$ mit der Eigenschaft, dass für alle ${}n\geq m'$ die Abschätzung

${}d^{n}\geq n\,$

gilt. Damit gilt für alle

${}n\geq \operatorname {max} (m,m')\,$

die Abschätzung

${}b^{n}=(cd)^{n}=c^{d}d^{n}\geq n^{k}n=n^{k+1}\,.$

Zur bewiesenen Aussage