Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch angeordnet/Vergleich mit Potenzen/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen die Existenz des $m$ durch Induktion über $k$ für jedes  $b>0$.  Für  $k=0$  ist die Aussage klar. Sei  $k=1$.  Wir schreiben  $b=1+u$  mit  $u>0$  und betrachten (für $n\ge 2$) die auf dem binomischen Lehrsatz in Verbindung mit  $u>0$  beruhende Abschätzung

$b^n=(1+u{)}^n\ge 1+nu+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})u^2=1+nu+\frac{n(n-1)}{2}{u}^2=1+nu+n\frac{(n-1)}{2}{u}^2\ge n\frac{(n-1)u^2}{2}.$

Da $\frac{u^2}{2}$ positiv ist, gibt es nach Fakt eine natürliche Zahl $m$ mit

$m\frac{u^2}{2}\ge 1.$

Für  $n>m$  ist dann

$b^n\ge n\frac{(n-1)u^2}{2}\ge n,$

wie gewünscht. Es sei nun die Aussage für  $k\ge 1$  und alle  $b>1$  schon bewiesen, und wir müssen sie für $k+1$ beweisen. Wir schreiben  $b=cd$  mit Zahlen

$c,d>1,$

die es nach Aufgabe gibt. Aufgrund der Induktionsvoraussetzung gibt es eine natürliche Zahl $m$ derart, dass für alle  $n\ge m$  die Abschätzung

$c^n\ge n^k$

gilt. Ebenso gibt es eine natürliche Zahl $m^{\prime }$ mit der Eigenschaft, dass für alle  $n\ge m^{\prime }$  die Abschätzung

$d^n\ge n$

gilt. Damit gilt für alle

$n\ge \max (m,m^{\prime })$

die Abschätzung

$b^n=(cd{)}^n=c^n{d}^n\ge n^{k}n=n^{k+1}.$

Zur bewiesenen Aussage