Ganzzahlige Exponentialfunktion/Funktionalgleichung/Fakt

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}b\in K_{+}$ ein positives Element. Dann besitzt die (ganzzahlige) Exponentialfunktion

$\varphi _{b}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$

zur Basis ${}b$ die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist

   ${}\varphi _{b}(n)=b^{n}>0\,$

   für alle ${}n\in \mathbb {Z}$.

2. Es ist

   ${}\varphi _{b}(0)=b^{0}=1\,.$

3. Es ist

   ${}\varphi _{b}(1)=b^{1}=b\,.$

4. Es ist

   ${}\varphi _{b}(m+n)=b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}=\varphi _{b}(m)\cdot \varphi _{b}(n)\,$

   für ${}m,n\in \mathbb {Z}$.

5. Für ${}m\in \mathbb {Z}$ ist

   ${}\varphi _{b}(-m)=b^{-m}={\left(b^{m}\right)}^{-1}={\left(\varphi _{b}(m)\right)}^{-1}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen