Garbe/Kommutative Gruppen/Linksexakt/Fakt/Beweis

Beweis

Dass ein Komplex vorliegt ist klar nach Fakt. Die Exaktheit bedeutet, dass für jeden Punkt $P \in X$ der Komplex

0 ⟶ ℱ_{P} ⟶ 𝒢_{P} ⟶ ℋ_{P}

der Halme exakt ist. Sei $s \in Γ (X, ℱ)$ und $d (s) = 0$ in $Γ (X, 𝒢)$ . Dann ist $d (s)_{P} = 0$ in jedem Punkt und somit ist $s_{P} = 0$ für jeden Punkt. Also ist $s = 0$ nach Fakt und die linke Abbildung ist injektiv. Es sei nun $t \in Γ (X, 𝒢)$ mit $d^{'} (t) = 0$ in $Γ (X, ℋ)$ . Die Exaktheit in den Halmen bedeutet, dass für jeden Punkt $P$ der Keim $t_{P}$ zu $ℱ_{P}$ gehört. Daraus folgt mit Aufgabe, dass $t$ selbst zu $ℱ$ gehört.

Zur bewiesenen Aussage