Garbe von Gruppen/Untergarbe/Quotientengarbe/Explizite Beschreibung/Fakt/Beweis

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Beweis
  1. Der Garbenhomomorphismus ist surjektiv und daher gibt es zu einem Schnitt lokal Urbilder in . D.h. es gibt eine offene Überdeckung und Elemente , die auf abbilden. Somit bildet

    auf ab und daher gehört diese Differenz zum Kern, also zu . Wenn umgekehrt eine solche Familie gegeben ist, so definiert dies über die Vergarbungsabbildung Restklassen

    Dabei ist

    und somit sind diese Klassen verträglich und definieren einen globalen Schnitt der Quotientengarbe.

  2. Seien die Familien und gegeben. Durch Übergang zu den Differenzen können wir annehmen, dass ist. Es ist dann zu zeigen, dass genau dann das Nullelement in der Quotientengarbe definiert, wenn alle zu gehören. Wenn die überall das Nullelement definieren, so gilt dies auch in den Halmen und somit gilt, dass in jedem Punkt gilt. Damit ist . Die Rückrichtung ist klar.
  3. Die Gleichheit von Schnitten einer Garbe kann man lokal auf einer beliebigen offenen Überdeckung testen. Daher folgt dies aus (2) und daraus, dass man die Zugehörigkeit zu einer Untergarbe ebenfalls lokal testen kann.
Zur bewiesenen Aussage