Garbe von Gruppen/Untergarbe/Quotientengarbe/Explizite Beschreibung/Fakt

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Es sei eine Garbe von kommutativen Gruppen und einer Untergarbe von Gruppen mit der Quotientengarbe . Dann gelten die folgenden Aussagen.

  1. Jedes Element wird repräsentiert durch eine Familie , , wobei eine offene Überdeckung ist und Schnitte sind mit

    und jede solche Familie liegt ein Element in fest.

  2. Zwei solche Familien (also zur gleichen Überdeckung) definieren genau dann das gleiche Element in , wenn

    für alle ist.

  3. Zwei Familien und definieren genau dann das gleiche Element in , wenn auf einer (jeder) gemeinsamen Verfeinerung der beiden Überdeckungen die Differenzen zu gehören.
Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen