Gaußsche Zahlen/Ganzheit/Beispiel

In der Ringerweiterung  $\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Z}[\mathrm{i}]$  ist $\mathrm{i}$ ganz über $\mathbb{Z}$, wie die Ganzheitsgleichung

${\mathrm{i}}^2=-1$

zeigt. Auch für ein beliebiges Element  $z=a+b\mathrm{i}\in \mathbb{Z}[\mathrm{i}]$  kann man direkt eine Ganzheitsgleichung angeben, nämlich

${(a+b\mathrm{i})}^2-2a(a+b\mathrm{i})+a^2+b^2=0.$