Gaußsche Zahlen/Ganzheit/Beispiel

In der Ringerweiterung ${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ist ${}{\mathrm {i} }$ ganz über ${}\mathbb {Z}$, wie die Ganzheitsgleichung

${}{\mathrm {i} }^{2}=-1\,$

zeigt. Auch für ein beliebiges Element ${}z=a+b{\mathrm {i} }\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ kann man direkt eine Ganzheitsgleichung angeben, nämlich

${}{\left(a+b{\mathrm {i} }\right)}^{2}-2a{\left(a+b{\mathrm {i} }\right)}+a^{2}+b^{2}=0\,.$