Es seien w , z ∈ Z [ i ] {\displaystyle {}w,z\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]} , z ≠ 0 {\displaystyle {}z\neq 0} . Wir betrachten den Quotienten
Dies ist eine komplexe Zahl mit rationalen Koeffizienten, also q 1 , q 2 ∈ Q {\displaystyle {}q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q} } . Es gibt ganze Zahlen a 1 , a 2 {\displaystyle {}a_{1},a_{2}} mit | q 1 − a 1 | , | q 2 − a 2 | ≤ 1 / 2 {\displaystyle {}{|}q_{1}-a_{1}{|},{|}q_{2}-a_{2}{|}\leq 1/2} . Damit ist
mit a 1 + a 2 i ∈ Z [ i ] {\displaystyle {}a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} }\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]} . Ferner ist
Multiplikation mit z {\displaystyle {}z} ergibt
und aus der Multiplikativität der Norm folgt