Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/Algorithmische Bestimmung/Verfahren

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Für eine Gaußsche Zahl kann man folgendermaßen entscheiden, ob sie prim ist bzw. wie ihre Primfaktorzerlegung aussieht:

  1. Berechne die Norm . Ist diese eine Primzahl, so ist nach Fakt das Element selbst prim.
  2. Bestimme die (ganzzahligen) Primfaktoren von . Schreibe

    wobei die ungerade mit Rest modulo und die ungerade mit Rest modulo seien.

  3. Schreibe für die Primfaktoren mit Rest modulo , und . Damit ist
  4. Liste die möglichen Primfaktoren von (und zugleich von ) auf: das sind (falls mit positivem Exponenten vorkommt), die und sowie die (da ein Hauptidealbereich ist und somit die eindeutige Primfaktorzerlegung gilt, setzt sich die Primfaktorzerlegung von und von bis auf Einheiten aus Primfaktoren der rechten Seite zusammen).
  5. Durch und die kann man sofort durchdividieren, da diese Faktoren jeweils sowohl von als auch von ein Faktor sind.
  6. Für die möglichen Primfaktoren und muss man (durch Division mit Rest) überprüfen, ob sie Primfaktoren von sind oder nicht (wenn nicht, so teilen sie ). Statt Division kann man auch die möglichen Kombinationen ausmultiplizieren.