Gaußsche Zahlen/Produktzerlegung/Defizit/Aufgabe

Bekanntlich gilt die Gruppenisomorphie

${}\mathbb {R} _{+}\times S^{1}\cong {\mathbb {C} }^{\times }\,,$

wobei einem Paar ${}(r,s)$ die komplexe Zahl ${}r\cdot s$ entspricht. Entsprechend gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Q} _{+}\times S_{\mathbb {Q} }^{1}\longrightarrow \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times },\,(r,s)\longmapsto r\cdot s.$

1. Zeige, dass diese Abbildung nicht surjektiv ist.
2. Zeige, dass jedes Quadrat aus ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }$ zum Bild gehört.
3. Man gebe ein Beispiel für ein ${}z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }$, das kein Quadrat ist und zum Bild gehört.

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