Gebiet/Folge/Holomorphe Funktionen/Nullstellenanzahl/Fakt

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei

$f_{n}\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine Folge von holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion ${}f$ kompakt konvergiert. Es sei ${}w\in {\mathbb {C} }$ und für jedes ${}f_{n}$ sei die Gesamtvielfachheit der ${}w$-Stellen höchstens ${}m$.

Dann ist ${}f$ konstant gleich ${}w$, oder die Gesamtvielfachheit von ${}w$ unter ${}f$ ist ebenfalls höchstens ${}m$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen