Gebiet/Folge/Holomorphe Funktionen/Nullstellenanzahl/Fakt/Beweis

Beweis

Ohne Einschränkung sei ${}w=0$ und sei die Grenzfunktion ${}f$ nicht die Nullfunktion, die Gesamtvielfachheit von ${}0$ unter ${}f$ sei aber zumindest ${}m+1$. Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{k}$ die Nullstellen von ${}f$, die zu dieser Gesamtvielfachheit beitragen (es könnte noch weitere, auch unendlich viele Nullstellen geben). Nach Fakt liegen die Nullstellen diskret, es sei ${}r>0$ derart, dass es in ${}B\left(P_{i},r\right)$ außer ${}P_{i}$ keine weitere Nullstellen gibt, diese untereinander disjunkt sind und in ${}U$ enthalten sind. Es sei ${}B$ das (positive) Minimum von ${}\vert {f}\vert$ auf der Vereinigung der Ränder der Kreisscheiben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz von ${}f_{n}$ gegen ${}f$ auf dieser Vereinigung ist für ${}n$ hinreichend groß

${}\vert {f(z)-f_{n}(z)}\vert \leq {\frac {B}{2}}\,.$

Wir können dann auf

${}f_{n}=f+(f_{n}-f)\,$

Fakt anwenden und erhalten, dass die Gesamtvielfachheit der Nullstelle von ${}f_{n}$ ebenfalls ${}\geq m+1$ ist im Widerspruch zur Voraussetzung.

Zur bewiesenen Aussage