Gebiet/Holomorphe Einheit/Windungszahl/Homologie/Komplex/Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet. Zeige, dass ein Komplex

$0{\stackrel {}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} 2\pi {\mathrm {i} }{\stackrel {}{\longrightarrow }}\Gamma (U,{\mathcal {O}}){\stackrel {\exp \left(-\right)}{\longrightarrow }}\Gamma (U,{\mathcal {O}})^{\times }{\stackrel {\Theta }{\longrightarrow }}\operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} \right)}{\stackrel {}{\longrightarrow }}0$

vorliegt, und zeige, dass dieser exakt ist.

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