Gebiet/Holomorphe Funktion/Mittelwerteigenschaft/Fakt

Mittelwertsatz für holomorphe Funktionen

Es sei ${}B=B\left(a,r\right)\subseteq {\mathbb {C} }$ ein abgeschlossener Ball und sei ${}f\colon B\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine stetige Funktion, die in ${}U{\left(a,r\right)}$ holomorph sei.

Dann gilt für den Weg

${}\gamma (t)=a+re^{{\mathrm {i} }t}\,$

die Gleichheit

${}f(a)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}dz={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}dt\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen