Gebiet/Holomorphe Funktion/Mittelwerteigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

Die erste Gleichung ist die Integralformel von Cauchy. Mit dem angegebenen Weg ${}\gamma (t)=a+re^{{\mathrm {i} }t}$ ist ${}\gamma '(t)=r{\mathrm {i} }e^{{\mathrm {i} }t}$ und damit ist

${}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}}{re^{{\mathrm {i} }t}}}r{\mathrm {i} }e^{{\mathrm {i} }t}dt={\mathrm {i} }\int _{0}^{2\pi }f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}dt\,.$

Zur bewiesenen Aussage