Gebiet/Holomorphe Funktion/P nach Q/Windungszahl/Fundamentalgruppenhomomorphismus/Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkontante holomorphe Funktion und ${}P\in G$ ein Punkt mit ${}f(P)=Q$. Es sei ${}P\in U$ eine Kreisscheibenumgebung, in der ${}P$ der einzige Urbildpunkt von ${}Q$ ist, und sei ${}\delta$ eine Standardumrundung von ${}P$ innerhalb von ${}U$. Es sei ${}\operatorname {ind} _{f\circ \delta }(Q)$ die Windungszahl von ${}f\circ \delta$ um ${}Q$. Zeige, dass der zugehörige Homomorphismus der Fundamentalgruppen

$\pi _{1}(f)\colon \pi _{1}(U\setminus \{P\})\cong \mathbb {Z} \longrightarrow \pi _{1}({\mathbb {C} }\setminus \{Q\})\cong \mathbb {Z} ,$

durch ${}n\mapsto n\cdot \operatorname {ind} _{f\circ \delta }(Q)$ gegeben ist.

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