Gebrochen-lineare Funktion/Kreisrand auf Kreisrand/Charakterisierung/Aufgabe/Lösung

Die Bedingung besagt

{}\vert {\frac {az+b}{cz+d}}\vert =1\,

für alle ${}z$ mit ${}z=1$ . Dies bedeutet insbesondere

{}{\begin{aligned}\vert {az+b}\vert ^{2}&={\left(az+b\right)}{\overline {az+b}}\\&=a{\overline {a}}+b{\overline {b}}+a{\overline {b}}z+{\overline {a}}b{\overline {z}}\\&=c{\overline {c}}+d{\overline {d}}+c{\overline {d}}z+{\overline {c}}d{\overline {z}}\\&=\vert {cz+d}\vert ^{2}.\end{aligned}}

Daraus folgt

{}a{\overline {a}}+b{\overline {b}}=c{\overline {c}}+d{\overline {d}}\,

bzw.

{}\vert {a}\vert ^{2}+\vert {b}\vert ^{2}=\vert {c}\vert ^{2}+\vert {d}\vert ^{2}\,

und

{}a{\overline {b}}=c{\overline {d}}\,

(da die Funktionen ${}1,z,{\overline {z}}$ auf dem Rand linear unabhängig sind). Es ist ${}a\neq 0$ , denn sonst wäre auch ${}c=0$ und es würde eine konstante Funktion vorliegen. Wir kürzen mit ${}a^{-1}$ , das ändert nach Fakt die gebrochen lineare Funktion nicht, und bleiben bei der Bezeichnung für die drei anderen Koeffizienten. Mit ${}r=\vert {b}\vert ^{2}$ , ${}s=\vert {c}\vert ^{2}$ , ${}t=\vert {d}\vert ^{2}$ haben wir die Bedingungen

{}1+r=s+t\,

und

{}r=st\,,

also

{}1+st=s+t\,

bzw.

{}(1-s)(1-t)=0\,.

Daraus folgt ${}s=1$ (und ${}t=r$ ) oder ${}t=1$ (und ${}s=r$ ). Betrachten wir den Fall ${}s=1$ , dann ist der Betrag von ${}c$ gleich ${}1$ . Durch Multiplikation mit ${}c$ können wir davon ausgehen, dass die Abbildung die Form

c\cdot {\frac {z+b}{z+d}}

besitzt. Die Bedingung wird dann zu ${}b=d$ , und es liegt eine konstante, also keine gebrochen lineare Funktion vor. Betrachten wir den Fall ${}t=1$ , dann ist der Betrag von ${}d$ gleich ${}1$ . Durch Multiplikation mit ${}d$ können wir davon ausgehen, dass die Abbildung die Form