Komplexe Zahlen/Gebrochen-lineare Funktion/Verknüpfungseigenschaften/Fakt

Die Abbildung

$\operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \operatorname {Rat} ({\mathbb {C} },{\mathbb {C} }),\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto {\left(z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\right)},$

die einer invertierbaren Matrix die zugehörige gebrochen-lineare Funktion zuordnet,

ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Bild die Gruppe der gebrochen-linearen Abbildungen ist und dessen Kern aus den Streckungsmatrizen ${}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}$ mit ${}s\neq 0$ besteht.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen