Geführte Bewegung/Anfangswertproblem/Parabel/Potenzreihenansatz/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz

${}x(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}+\ldots =t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}+\ldots \,,$

wobei sich die ersten beiden Koeffizienten aus den Anfangsbedingungen ergeben. Es ist also noch ${}a_{2},a_{3}$ und ${}a_{4}$ zu bestimmen. Die linke Seite der Gleichung ist

$2a_{2}+6a_{3}t+12a_{4}t^{2}+\ldots .$

Von der rechten Seite müssen wir also die Koeffizienten zu ${}t^{0},t^{1},t^{2}$ ausrechnen, um drei Gleichungen zu bekommen. Zur Auswertung des Nenners verwenden wir

${}{\frac {1}{1+u}}=1-u+u^{2}-u^{3}+u^{4}\pm \ldots \,.$

Daher gilt mit ${}u=4x^{2}$ die Beziehung

${}{\frac {1}{1+4x^{2}}}=1-4x^{2}+16x^{4}\pm \ldots \,.$

Wenn man darin für ${}x$ die Potenzreihe einsetzt, erhält man

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{1+4{\left(t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}+\ldots \right)}^{2}}}&=1-4{\left(t+a_{2}t^{2}+\ldots \right)}^{2}+16{\left(t+a_{2}t^{2}+\ldots \right)}^{4}\ldots \\&=1-4t^{2}-8a_{2}t^{3}+\ldots .\end{aligned}}$

Somit ist die rechte Seite der Differentialgleichung gleich

${}{\begin{aligned}\,&\,{\left(-2g{\left(t+a_{2}t^{2}+\ldots \right)}-4{\left(t+a_{2}t^{2}+\ldots \right)}{\left(1+2a_{2}t+3a_{3}t^{2}+\ldots \right)}^{2}\right)}{\left(1-4t^{2}+\ldots \right)}\\&={\left(-2g{\left(t+a_{2}t^{2}+\ldots \right)}-4{\left(t+a_{2}t^{2}+\ldots \right)}{\left(1+4a_{2}t+\ldots \right)}\right)}{\left(1-4t^{2}+\ldots \right)}\\&={\left(-2gt-2ga_{2}t^{2}-4t-16a_{2}t^{2}-4a_{2}t^{2}+\ldots \right)}{\left(1-4t^{2}+\ldots \right)}\\&={\left((-2g-4)t+(-2g-20)a_{2}t^{2}+\ldots \right)}{\left(1-4t^{2}+\ldots \right)}\\&=(-2g-4)t+(-2g-20)a_{2}t^{2}+\ldots .\end{aligned}}$

Somit ist (rechts ist der Koeffizient zu ${}t^{0}$ gleich ${}0$)

${}a_{2}=0\,,$

aus

${}6a_{3}=-2g-4\,$

folgt

${}a_{3}=-{\frac {g+2}{3}}\,,$

aus

${}12a_{4}=0\,$

folgt

${}a_{4}=0\,.$

Der Anfang der Potenzreihe ist also

${}x(t)=t-{\frac {g+2}{3}}t^{3}\,.$

Zur gelösten Aufgabe