Geometrische Reihe/0...01/Aufgabe/Lösung

Die angegebene reelle Zahl ist der Grenzwert der Folge

${}x_{k}=10^{-m}+10^{-2m}+\cdots +10^{-km}+=\sum _{j=1}^{k}10^{-jm}\,.$

Es ist unter Verwendung des Distributivgesetzes

${}{\begin{aligned}yx_{k}&={\left(\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{i}\right)}{\left(\sum _{j=1}^{k}10^{-jm}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{k}{\left(\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{i}\right)}10^{-jm}\\&=\sum _{j=1}^{k}{\left(\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{-jm+i}\right)}\\&=z_{m-1}10^{-1}+z_{m-2}10^{-2}+\cdots +z_{0}10^{-m}+z_{m-1}10^{-m-1}+z_{m-2}10^{-m-2}+\cdots +z_{0}10^{-2m}+\cdots +z_{m-1}10^{-(k-1)m-1}+z_{m-2}10^{-(k-1)m-2}+\cdots +z_{0}10^{-km}\end{aligned}}$

Die Folge ${}yx_{k}$ konvergiert aufgrund der Rechengesetze für konvergente Folgen gegen ${}yx$, wegen der expliziten Beschreibung aber auch gegen die reelle Zahl

$0,{\overline {z_{m-1}z_{m-2}\ldots z_{0}}}.$

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