Geometrische Reihe/0...01/Aufgabe/Lösung

Die angegebene reelle Zahl ist der Grenzwert der Folge

x_{k} = 1 0^{- m} + 1 0^{- 2 m} + \dots + 1 0^{- k m} + = \sum_{j = 1}^{k} 1 0^{- j m} .

Es ist unter Verwendung des Distributivgesetzes

\begin{matrix} y x_{k} & = (\sum_{i = 0}^{m - 1} z_{i} 1 0^{i}) (\sum_{j = 1}^{k} 1 0^{- j m}) \\ = \sum_{j = 1}^{k} (\sum_{i = 0}^{m - 1} z_{i} 1 0^{i}) 1 0^{- j m} \\ = \sum_{j = 1}^{k} (\sum_{i = 0}^{m - 1} z_{i} 1 0^{- j m + i}) \\ = z_{m - 1} 1 0^{- 1} + z_{m - 2} 1 0^{- 2} + \dots + z_{0} 1 0^{- m} + z_{m - 1} 1 0^{- m - 1} + z_{m - 2} 1 0^{- m - 2} + \dots + z_{0} 1 0^{- 2 m} + \dots + z_{m - 1} 1 0^{- (k - 1) m - 1} + z_{m - 2} 1 0^{- (k - 1) m - 2} + \dots + z_{0} 1 0^{- k m} \end{matrix}

Die Folge $y x_{k}$ konvergiert aufgrund der Rechengesetze für konvergente Folgen gegen $y x$ , wegen der expliziten Beschreibung aber auch gegen die reelle Zahl

0, \overline{z_{m - 1} z_{m - 2} \dots z_{0}} .

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